Question

13．已知函数f（x）=x²+2ax+c
（1）若f（x）=f（-2-x），f（0）=-4．求f（x）在[3，+∞）上的最小值：
（2）若对于任意x∈[1，1+a]，f（x）＞$\frac{9}{4}$x-a²+c恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=f（-2-x），f（0）=-4，可得x=-1为对称轴，可得a和c的值，即得f（x）=x²+2x-4，对称轴为x=-1，所以函数f（x）在[3，+∞）单调递增，即可得f（x）的最小值．
（2）对于任意x∈[1，1+a]，f（x）＞$\frac{9}{4}$x-a²+c恒成立，即为x²+（2a-$\frac{9}{4}$）x+a²＞0在[1，1+a]恒成立，可令g（x）=x²+（2a-$\frac{9}{4}$）x+a²，对称轴为x=$\frac{9}{8}$-a，即求g（x）_min＞0，根据对称轴为x=$\frac{9}{8}$-a，与[1，a+1]的位置关系，分类讨论求出g（x）_min，进而求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=f（-2-x），f（0）=-4，
可得f（x）关于直线x=-1对称，且c=-4，
由函数f（x）=x²+2ax+c的对称轴为x=-a，
可得a=1，即f（x）=x²+2x-4，
f（x）在[3，+∞）上递增，
可得f（3）取得最小值，且为11；
（2）对于任意x∈[1，1+a]，f（x）＞$\frac{9}{4}$x-a²+c恒成立，
即为x²+（2a-$\frac{9}{4}$）x+a²＞0在[1，1+a]恒成立，
可令g（x）=x²+（2a-$\frac{9}{4}$）x+a²，对称轴为x=$\frac{9}{8}$-a，
即求g（x）_min＞0，
①当1+a≤$\frac{9}{8}$-a，即a≤$\frac{1}{16}$时，对称轴在[1，a+1]的右侧，
∴g（x）在[1，a+1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1+a）=（1+a）x²+（2a-$\frac{9}{4}$）（1+a）+a²＞0，
解得，a＞$\frac{-7+3\sqrt{41}}{32}$（a＜$\frac{-7-3\sqrt{41}}{32}$舍去），
∴a∈∅．
②当1＜$\frac{9}{8}$-a＜a+1，即$\frac{1}{16}$＜a＜$\frac{1}{8}$时，对称轴在[1，a+1]的中间，
∴g（x）_min=g（$\frac{9}{8}$-a）=$\frac{4{a}^{2}-（2a-\frac{9}{4}）^{2}}{4}$＞0，
解得a＞$\frac{9}{16}$，
∴a∈∅．
③当1≥$\frac{9}{8}$-a，即a≥$\frac{1}{8}$时，对称轴在[1，a+1]的左侧，
∴g（x）在[1，a+1]上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=1+（2a-$\frac{9}{4}$）+a²＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$或（a＜-$\frac{5}{2}$舍去），
∴a＞$\frac{1}{2}$．
综上可得，实数a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的解析式以及二次函数的性质，重点考查了二次函数最值的求解，二次函数的最值要考虑开口方向和对称轴与区间的位置关系，运用分类讨论的数学思想解决此类问题．属于中档题．