Question

4．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为正三角形，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB，过AB做平面α与BC₁平行，平面α交平面ACC₁A₁于直线l，则直线l与BC所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{12}$

Answer 1

分析 取AC中点M，A₁C₁中点N推导出面AB₁N∥面BMC₁，从而BC₁∥面AB₁N，进而直线AN就是直线l，由此得到∠MC₁B₁即为直线l与BC所成角（或所成角的补角），由此能求出直线l与BC所成角的余弦值．

解答 解：取AC中点M，A₁C₁中点N，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为正三角形，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB，
∴BM∥B₁N，AN∥C₁M，
∵AN∩B₁N=N，BM∩C₁M=M，∴面AB₁N∥面BMC₁，
∴BC₁∥面AB₁N，∴直线AN就是直线l，
∵AN∥MC₁，BC∥B₁C₁，∴∠MC₁B₁即为直线l与BC所成角（或所成角的补角），
设三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱长为2，
则B₁M=$\sqrt{B{M}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$，
${C}_{1}M=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
∴cos∠MC₁B₁=$\frac{{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}+M{{C}_{1}}^{2}-B{M}^{2}}{2{B}_{1}{C}_{1}•M{C}_{1}}$=$\frac{4+5-7}{2×2×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴直线l与BC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故选：C．

点评 本题考查两异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．