Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线x=3的距离之比为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）已知P为定直线x=3上一点．
①过点F作FP的垂线交轨迹C于点G（G不在y轴上），求证：直线PG与OG的斜率之积是定值；
②若点P的坐标为（3，3），过点P作动直线l交轨迹C于不同两点R、T，线段RT上的点H满足$\frac{PR}{PT}=\frac{RH}{HT}$，求证：点H恒在一条定直线上．

Answer 1

分析 （1）根据点M到直线x=3的距离d=|x-3|，求出点M在轨迹C的方程即可；
（2）①得到$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{FP}$=0，根据点G（x₀，y₀）在椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$上，得到$y_0^2=2-\frac{2x_0^2}{3}$，求出PG、OG的斜率，计算斜率之积即可；
②令$\frac{PR}{PT}=\frac{RH}{HT}=λ（{λ＞0}）$，则$\overrightarrow{PR}$=λ$\overrightarrow{PT}$，$\overrightarrow{RH}$=λ$\overrightarrow{HT}$，令点H（x，y），R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），得到$\left\{{\begin{array}{l}{（{{x_1}-3，{y_1}-3}）=λ（{{x_2}-3，{y_2}-3}）}\\{（{x-{x_1}，y-{y_1}}）=λ（{{x_2}-x，{y_2}-y}）}\end{array}}\right.$，整理证明．

解答 解：（1）设M（x，y），则$|{MF}|=\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}$，
点M到直线x=3的距离d=|x-3|，
由$\frac{{|{MF}|}}{d}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，得$\frac{{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}}{{{{|{x-3}|}^2}}}=\frac{1}{3}$，化简得$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，
即点M在轨迹C的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）因为P为直线x=3上一点，所以令P（3，t），
①令G（x₀，y₀），由FG⊥FP，得$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{FP}$=0，
即（x₀-1，y₀）•（2，t）=0，即ty₀=2-2x₀，
又因为点G（x₀，y₀）在椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$上，所以$y_0^2=2-\frac{2x_0^2}{3}$，
而PG、OG的斜率分别为${k_{PG}}=\frac{{{y_0}-t}}{{{x_0}-3}}、{k_{OG}}=\frac{y_0}{x_0}$，
于是${k_{PG}}•{k_{OG}}=\frac{{（{{y_0}-t}）{y_0}}}{{（{{x_0}-3}）{x_0}}}=\frac{{y_0^2-t{y_0}}}{{x_0^2-3{x_0}}}=\frac{{2-\frac{2x_0^2}{3}-2+2{x_0}}}{{x_0^2-3{x_0}}}=\frac{{-\frac{2}{3}（{x_0^2-3{x_0}}）}}{{x_0^2-3{x_0}}}=-\frac{2}{3}$，
即直线PG与OG的斜率之积为定值$-\frac{2}{3}$．
②令$\frac{PR}{PT}=\frac{RH}{HT}=λ（{λ＞0}）$，则$\overrightarrow{PR}$=λ$\overrightarrow{PT}$，$\overrightarrow{RH}$=λ$\overrightarrow{HT}$，
令点H（x，y），R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
则$\left\{{\begin{array}{l}{（{{x_1}-3，{y_1}-3}）=λ（{{x_2}-3，{y_2}-3}）}\\{（{x-{x_1}，y-{y_1}}）=λ（{{x_2}-x，{y_2}-y}）}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}-3=λ{x_2}-3λ}\\{{y_1}-3=λ{y_2}-3λ}\\{x-{x_1}=λ{x_2}-λx}\\{y-{y_1}=λ{y_2}-λy}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{3=\frac{{λ{x_2}-{x_1}}}{λ-1}\;①}\\{3=\frac{{λ{y_2}-{y_1}}}{λ-1}\;②}\\{x=\frac{{λ{x_2}+{x_1}}}{λ+1}\;③}\\{y=\frac{{λ{y_2}+{y_1}}}{λ+1}\;④}\end{array}}\right.$
由①×③，②×④，得$\left\{{\begin{array}{l}{3x=\frac{{{λ^2}x_2^2-x_1^2}}{{{λ^2}-1}}\;⑤}\\{3y=\frac{{{λ^2}y_2^2-y_1^2}}{{{λ^2}-1}}\;⑥}\end{array}}\right.$，
因为R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$上，所以$\left\{{\begin{array}{l}{2x_1^2+3y_1^2=6}\\{2x_2^2+3y_2^2=6}\end{array}}\right.$，
⑤×2+⑥×3，得$6x+9y=\frac{{2{λ^2}x_2^2-2x_1^2+3{λ^2}y_2^2-3y_1^2}}{{{λ^2}-1}}=\frac{{{λ^2}（{2x_2^2+3y_2^2}）-（{2x_1^2+3y_1^2}）}}{{{λ^2}-1}}$=$\frac{{6{λ^2}-6}}{{{λ^2}-1}}=\frac{{6（{{λ^2}-1}）}}{{{λ^2}-1}}=6$，
即2x+3y-2=0，
所以点H在定直线2x+3y-2=0上．

点评 本题考查了椭圆的轨迹方程，考查向量问题以及比例的性质，是一道综合题．