Question

2．已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且$∠AOB=\frac{π}{2}$，求k的值；
（2）若$k=\frac{1}{2}$，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由$∠AOB=\frac{π}{2}$，得到原点O到直线l的距离为1，由此利用点到直线的距离公式能求出k的值．
（2）由题意可知O，P，C，D四点共圆，且在以OP为直径的圆上，设$P（t，\frac{1}{2}t-2）（t∈R）$，以OP为直径的圆的方程为${x^2}-tx+{y^2}-（\frac{1}{2}t-2）y=0$，由C，D在圆O：x²+y²=2上，求出直线CD的方程，由此能证明直线CD过定点$（\frac{1}{2}，-1）$．

解答 （12分）
解：（1）因为$∠AOB=\frac{π}{2}$，所以原点O到直线l的距离为$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\sqrt{2}=1$，
又因为$d=\frac{|k×0-0-2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1，解得k=±\sqrt{3}$．（4分）
证明：（2）由题意可知O，P，C，D四点共圆，且在以OP为直径的圆上，
设$P（t，\frac{1}{2}t-2）（t∈R）$，
则以OP为直径的圆的方程为：$x（x-t）+y（y-\frac{1}{2}t+2）=0$，
即${x^2}-tx+{y^2}-（\frac{1}{2}t-2）y=0$，
又C，D在圆O：x²+y²=2上，
所以直线CD的方程为$tx+（\frac{1}{2}t-2）y-2=0$，
即$t（x+\frac{y}{2}）-2（y+1）=0$．
因为t∈R，所以$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{y}{2}=0\\ 2（y+1）=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-1.\end{array}\right.$
所以直线CD过定点$（\frac{1}{2}，-1）$．（12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查直线过定点的证明，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．