Question

20．已知函数f（x）=x³-3x²+1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{4x}，x＞0}\\{-x^2-6x-8，x≤0}\end{array}\right.$，则方程g[f（x）]-1=0的根的个数为（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 令t=f（x），则g（t）=1，解得t的值，求函数f（x）的导数f′（x），判断函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：令t=f（x），则g（t）=1，
当t＞0时，由g（t）=1得t+$\frac{1}{4t}$=1，即4t²-4t+1=0，即（2t-1）²=0，即t=$\frac{1}{2}$，
当t≤0，由g（t）=1得-t²-6t-8=1，即（t+3）²=0，即t=-3，
函数f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=0时，函数取得极大值f（0）=1，
当x=2时，函数取得极小值f（2）=-3，
则当t=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$，有3个根，
当t=-3时，f（x）=-3，有2个根，
共有3+2=5个，
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合函数的导数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．