Question

12．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|，|$\overrightarrow{CA}$|=4，|$\overrightarrow{CB}$|=3，若$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，则$\overrightarrow{CP}$•$\overline{AB}$的值为（　　）

• A． $\frac{23}{3}$
• B． -$\frac{7}{2}$
• C． -$\frac{23}{3}$
• D． -8

Answer 1

分析 先判断△ABC以C为直角的直角三角形，再根据向量的加减以及向量的数量积即可求出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|，|$\overrightarrow{CA}$|=4，|$\overrightarrow{CB}$|=3，
∴△ABC以C为直角的直角三角形，
∴$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overline{AB}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$）=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}{\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{C{B}^{\;}}}^{2}$-$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=-$\frac{2}{3}{\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\frac{1}{3}{\overrightarrow{C{B}^{\;}}}^{2}$=-$\frac{2}{3}×16$+$\frac{1}{3}×9$=-$\frac{23}{3}$
故选：C．

点评 本题考查了向量的加减的几何意义以及向量的数量积的运算，属于中档题．