Question

2．已知抛物线C：y²=8x的焦点F与双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，C的准线与E交于A，B，若|$\overrightarrow{AB}$|=6，则E的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 求出抛物线C：y²=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=-2，利用抛物线C：y²=8x的焦点F与双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，得a²+b²=4①，x=-2时，y=3，代入，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{{b}^{2}}$=1②，由①②解得a，b，即可求出E的方程．

解答 解：抛物线C：y²=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=-2，
∵抛物线C：y²=8x的焦点F与双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，
∴a²+b²=4①
x=-2时，y=3，代入，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{{b}^{2}}$=1②，
由①②解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴E的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查双曲线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．