Question

7．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且ccosA=5，asinC=4．
（1）求边长c；
（2）若△ABC的面积S=16．求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得asinC=csinA，可得sinA=$\frac{4}{c}$，由ccosA=5，可得：cosA=$\frac{5}{c}$，由sin²A+cos²A=$\frac{16}{{c}^{2}}$+$\frac{25}{{c}^{2}}$=1，即可解得c的值．
（2）利用三角形面积公式可得S=$\frac{1}{2}$absinC=16，asinC=4．解得b，利用余弦定理即可解得a的值，从而可求△ABC的周长．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，可得：asinC=csinA，
∵asinC=4，可得：csinA=4，即得：sinA=$\frac{4}{c}$，
由ccosA=5，可得：cosA=$\frac{5}{c}$，
∴可得：sin²A+cos²A=$\frac{16}{{c}^{2}}$+$\frac{25}{{c}^{2}}$=1，
∴解得：c=$\sqrt{41}$．
（2）∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=16，asinC=4．解得：b=8，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=64+41-2×$\sqrt{41}$×8×$\frac{5}{\sqrt{41}}$=25，解得a=5，或-5（舍去），
∴△ABC的周长=a+b+c=5+8+$\sqrt{41}$=13+$\sqrt{41}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．