Question

17．已知数列通项a_n=lg[100×$（\frac{\sqrt{2}}{2}）$^n-1]
（1）写出这个数列的前三项；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）根据通项公式计算；
（2）使用对数的运算性质化简通项公式，计算a_n+1-a_n的值，判断是否为常数．

解答 解：（1）a₁=lg100=2，a₂=lg（100×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=lg100+lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2+lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a₃=lg[100×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²]=lg100+lg（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=2+2lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵a_n=lg[100×$（\frac{\sqrt{2}}{2}）$^n-1]=lg100+lg$（\frac{\sqrt{2}}{2}）$^n-1=2+（n-1）lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴a_n+1=2+nlg$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a_n+1-a_n=nlg$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（n-1）lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$=lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴数列{a_n}是以2为首项，以lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公差的等差数列．

点评 本题考查了对数的运算性质，等差数列的判断，属于基础题．