Question

12．已知曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t为参数）与x轴，y轴交于A、B两点，点C在曲线ρ=-2cosθ-4sinθ上移动，求△ABC面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析 将参数方程和极坐标方程化成直角坐标方程，求出AB，判断直线与圆的位置关系，得出三角形AB边上高的最大值和最小值．

解答 解：将曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t为参数）化成普通方程得2-y=$\frac{x}{2}$，即x+2y-4=0．
∴A（4，0），B（0，2）．AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵曲线ρ=-2cosθ-4sinθ，∴ρ²=-2ρcosθ-4ρsinθ，∴该曲线的普通方程为x²+y²+2x+4y=0．
化成标准方程为（x+1）²+（y+2）²=5．∴该曲线为以（-1，-2）为圆心，以r=$\sqrt{5}$为半径的圆．
圆心（-1，-2）到直线x+2y-4=0的距离d=$\frac{|-1-4-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$$＞\sqrt{5}$，
∴直线x+2y-4=0与圆（x+1）²+（y+2）²=5相离．
∴△ABC面积的最小值为$\frac{1}{2}$AB（d-r）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}$×（$\frac{9\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}$）=4．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}$AB（d+r）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}$×（$\frac{9\sqrt{5}}{5}+\sqrt{5}$）=14．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系判断，属于基础题．