Question

1．已知函数f（x）=log₂x，g（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和记为S_n，b_n为数列{b_n}的通项，n∈N^*．点（b_n，n）和（n，S_n）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令C_n=$\frac{1}{{{a_n}•f（{b_{2n-1}}）}}$，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：n=log₂b_n，解得b_n=2ⁿ．S_n=n²+2n，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．
（2）f（b_2n-1）=$lo{g}_{2}{2}^{2n-1}$=2n-1．可得C_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：n=log₂b_n，解得b_n=2ⁿ．
S_n=n²+2n，当n≥2时，S_n-1=（n-1）²+2（n-1），
∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1．
当n=1时也成立，
∴a_n=2n+1．
（2）f（b_2n-1）=$lo{g}_{2}{2}^{2n-1}$=2n-1．
C_n=$\frac{1}{{{a_n}•f（{b_{2n-1}}）}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{C_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了指数与对数的运算性质、数列的递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．