Question

13．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（ϕ为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为$（\sqrt{3}，\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；
（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．

解答 解：（Ⅰ）$x=\sqrt{3}cos\frac{π}{2}=0$，y=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$=$\sqrt{3}$，∴P的直角坐标为$P（0，\sqrt{3}）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$得cosφ=$\frac{x}{\sqrt{5}}$，sinφ=$\frac{y}{\sqrt{15}}$．∴曲线C的普通方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{15}=1$．
（Ⅱ）将$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{15}=1$ 得t²+2t-8=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=-2，t₁t₂=-8，
∵P点在直线l上，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=6．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的互化，参数得几何意义，属于基础题．