Question

18．已知f（x）=$\frac{{x}^{3}-3x+a}{x}$，f（x）＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 把f（x）＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]时恒成立，转化为a＞-x³+3x在x∈[$\frac{1}{2}$，2]时恒成立，利用导数求出函数g（x）=-x³+3x在x∈[$\frac{1}{2}$，2]时的最大值得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{3}-3x+a}{x}$，
由f（x）＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]时恒成立，得
x³-3x+a＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]时恒成立，
即a＞-x³+3x在x∈[$\frac{1}{2}$，2]时恒成立，
令g（x）=-x³+3x，则g′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
∴当x∈[$\frac{1}{2}$，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当x∈（1，2]时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
∴g（x）_max=g（1）=2，
∴a＞2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．