Question

6．设函数f（x）=ax²-2x+2，若f（x）在区间（1，4）上有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得，ax²-2x+2＞0在区间（1，4）上恒成立．即$a＞-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}=2（-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}）$在区间（1，4）上恒成立．然后利用二次函数求最值得答案．

解答 解：∵f（x）=ax²-2x+2，且f（x）在区间（1，4）上有f（x）＞0恒成立，
∴ax²-2x+2＞0在区间（1，4）上恒成立．
即ax²＞2x-2在区间（1，4）上恒成立．
也就是$a＞-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}=2（-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}）$在区间（1，4）上恒成立．
令g（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$，
∵1＜x＜4，∴$\frac{1}{4}＜\frac{1}{x}＜1$，
∴当$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$，即x=2时，$g（x）_{max}=g（2）=\frac{1}{4}$，
则a$＞2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了分离变量法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．