Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$，a_n＞0，求a_n．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式两边平方，可得数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以2为公差的等差数列，求其通项公式后，取倒数再开方可得a_n．

解答 解：由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$，两边平方可得，$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+2$，
即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=2$，
∴数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以2为公差的等差数列，
又a₁=1，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=1+2（n-1）=2n-1$，
则${{a}_{n}}^{2}=\frac{1}{2n-1}$，
∵a_n＞0，
∴a_n=$\sqrt{\frac{1}{2n-1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查等差数列的通项公式的求法，是中档题．