Question

5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}+1}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立及坐标系．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和普通方程．
（Ⅱ）过点A（m，0）作曲线C的两切线AP，AQ，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．

Answer 1

分析 （I）消参数得到普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得到极坐标方程；
（II）根据导数与切线的关系求出切点P，Q的坐标，得到直线PQ的方程，令m的系数为0得出定点坐标．

解答 解：（I）将x=t代入y=t²+1，得y=x²+1，∴曲线C的普通方程为y=x²+1．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入y=x²+1得ρsinθ=ρ²cos²θ+1．
∴曲线C的极坐标方程为ρsinθ=ρ²cos²θ+1．
（II）设过A（m，0）的直线y=k（x-m）与曲线y=x²+1相切，切点为（x，y）
则$\left\{\begin{array}{l}{2x=k}\\{y={x}^{2}+1}\\{y=k（x-m）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{{m}^{2}+1}}\\{y=2{m}^{2}+2m\sqrt{{m}^{2}+1}+2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=m-\sqrt{{m}^{2}+1}}\\{y=2{m}^{2}-2m\sqrt{{m}^{2}+1}+2}\end{array}\right.$．
∴直线PQ方程为$\frac{y-（2{m}^{2}-2m\sqrt{{m}^{2}+1}+2）}{4m\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{x-（m-\sqrt{{m}^{2}+1}）}{2\sqrt{{m}^{2}+1}}$，即2mx-y+2=0．
显然，当x=0时，y=2．
∴直线PQ过定点（0，2）．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的互化，导数与切线的关系，直线方程的应用．