Question

8．已知x，y∈（0，+∞），2^x-1=（$\frac{1}{2}$）^y，若$\frac{1}{x}$+$\frac{m}{y}$（m＞0）的最小值为3，则m的值为4-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出x+y=1，根据级别不等式的性质求出m的值即可．

解答 解：∵x，y∈（0，+∞），2^x-1=（$\frac{1}{2}$）^y，
∴x+y=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{m}{y}$=$\frac{x+y}{x}$+$\frac{m（x+y）}{y}$=1+m+$\frac{y}{x}$+$\frac{mx}{y}$≥1+m+2$\sqrt{m}$=3，
当且仅当y=$\sqrt{m}$y时“=”成立，
解方程m+2$\sqrt{m}$=2①，令$\sqrt{m}$=t，则t＞0，
①可化为：t²+2t=2，解得：t=$\sqrt{3}$-1，
∴m=${（\sqrt{3}-1）}^{2}$=4-2$\sqrt{3}$
故答案为：4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，注意利用级别不等式性质需满足的条件，本题是一道基础题．