Question

5．若（x+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=$\frac{a}{6}$x与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 依据二项式系数和为3ⁿ，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项a的值，再利用积分求直线y=$\frac{a}{6}$x与曲线y=x²围成的封闭图形的面积．

解答 解：∵（x+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，
∴令x=1，可得3ⁿ=81，
解得n=4，
（x+$\frac{2}{x}$）⁴的展开式的通项公式为：T_r+1=C₄^r•2^r•x^4-2r，
令4-2r=0，解得r=2，
∴展开式中常数项为a=C₄²•2²=24；
∴直线y=4x与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为：S=${∫}_{0}^{4}$（4x-x²）dx=（2x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{4}$=$\frac{32}{3}$．
故答案为：$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用积分求封闭图形的面积问题，是综合性题目．