Question

20．已知函数f（x）=e^ax-x，其中a≠0，若对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 首先对a考虑，说明a＜0不成立，只有a＞0，求出导数，并求出f（x）的单调区间，从而求得最小值，令它不小于0，然后构造函数g（t）=t-tlnt-1，运用导数求出它的最大值，运用两边夹法则即可求出a的值．

解答 解：若a＜0，则对一切x＞0，∵0＜e^ax＜1，
∴存在x使f（x）=e^ax-x＜0，这与题设f（x）≥0恒成立矛盾．
又a≠0，故a＞0．
而f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
当x＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，f（x）取最小值f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-1．
于是对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，当且仅当$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-1≥0．①
令g（t）=t-tlnt-1，（t=$\frac{1}{a}$），
则g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
∴当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1-1=0．
∴当且仅当$\frac{1}{a}$=1，即a=1时，①式等号成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查导数在函数中的运用，同时考查构造函数解题的思想，难度较大．