Question

15．已知一条直线经过点P（2，1），且与圆x²+y²=10相交，截得的弦长为2$\sqrt{5}$，求这条直线的方程．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论，斜率存在和不存在；当斜率不存在时直线方程为x=2，进行验证可得结论，过点P（2，1）的直线l，当斜率存在时，直线方程被圆x²+y²=10截得的弦长要为2 $\sqrt{5}$，利用垂径定理，只要满足圆心（0，0）到直线的距离为 $\sqrt{5}$即可，从而求出斜率k．

解答 解：过点P（2，1）的直线l，当斜率不存在时直线方程为x=2，
这时验证，被圆x²+y²=10截得的弦长显然不为为2$\sqrt{5}$．这不合题意．
过点P（2，1）的直线l，当斜率存在时，直线方程为y=k（x-2）+1，
这时，被圆x²+y²=10截得的弦长要为2$\sqrt{5}$，只要满足圆心（0，0）到直线的距离为$\sqrt{5}$即可．
即有等式为$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
解得k=-2，
故所求的直线方程为：2x+y-5=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，解决直线与圆的问题，要充分利用圆的几何性质，数形结合加以解决．