Question

3．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=$\frac{x}{3}$-2^x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；
（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t²-2t＞k-2t²．即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，
所以f（0）=0．（2分）
（Ⅱ）因为当x＜0时，-x＞0，
所以$f（-x）=\frac{-x}{3}-{2^{-x}}$．
又因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
所以$f（x）=\frac{x}{3}+{2^{-x}}$．
综上，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}-{2^x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{\frac{x}{3}+{2^{-x}}，x＜0}\end{array}}\right.$（6分）
（Ⅲ）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）．
因为f（x）是奇函数，所以f（t²-2t）＜f（k-2t²）．又f（x）在R上是减函数，所以t²-2t＞k-2t²．
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立．
方法一令3t²-2t-k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得$k＜-\frac{1}{3}$．
方法二即k＜3t²-2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t²-2t，t∈R
则$g（t）=3{t^2}-2t=3（{t^2}-\frac{2}{3}t）=3{（t-\frac{1}{3}）^2}-\frac{1}{3}≥-\frac{1}{3}$∴$k＜-\frac{1}{3}$
故实数k的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{3}）$． （10分）

点评 本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．