Question

11．已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且$f（1）=-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ） 求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ） 当-8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ） 设函数g（x）=f（x²-m）-2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；
（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；
（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g（x）=f（x²-2|x|-m），令g（x）=0即f（x²-2|x|-m）=0=f（0），根据单调性可得
 x²-2|x|-m=0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m∈（-1，0）．

解答 解：（I）令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．…．（1分）
令x=y=1，得f（2）=2f（1）=-1，…．（2分）
令x=2，y=1得$f（3）=f（2）+f（1）=-\frac{3}{2}$．…（3分）
（II）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
因为f（x+y）-f（x）=f（y），即f（x+y）-f（x）=f[（x+y）-x]=f（y），
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）．…（4分）
由已知x＞0时，f（x）＜0且x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＜0，
所以 f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
所以 函数f（x）在R上是减函数，…．（6分）
故 f（x）在[-8，10]单调递减．
所以f（x）_max=f（-8），f（x）_min=f（10），
又$f（10）=2f（5）=2[f（2）+f（3）]=2（-1-\frac{3}{2}）=-5$，…．（7分）
由f（0）=f（1-1）=f（1）+f（-1）=0，得$f（-1）=\frac{1}{2}$，$f（-8）=2f（-4）=4f（-2）=8f（-1）=8×\frac{1}{2}=4$，
故f（x）_max=4，f（x）_min=-5．…．（9分）
（III） 令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．…．（10分），
∴g（x）=f（x²-m）-2f（|x|）=f（x²-m）+2f（-|x|）=f（x²-m）+f（-|x|）+f（-|x|）=f（x²-2|x|-m）…．（11分）
令g（x）=0即f（x²-2|x|-m）=0=f（0），
因为 函数f（x）在R上是减函数，…．（12分）
所以 x²-2|x|-m=0，即m=x²-2|x|，…．（13分）
所以 当m∈（-1，0）时，函数g（x）最多有4个零点．…．（15分）

点评 考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，难点是利用定义解决实际问题的能力．