【题目】从1~2010中选出总和为1006779的1005个数,且这1005个数中任意两数之和都不等于2011.
(1)证明: 为定值;
(2)当取最小值时,求 中所有小于1005的数之和。
【答案】(1)见解析;(2)44253
【解析】
将{1,2,...,2010}分成1005组:
.
因中任两数之和不等于2011,故各组中恰取一数.先在各组中取偶数,组成,其中.
又,
故必有一些偶数被换成同组的奇数.
设组的换数使的增量为,其中,k=1,2,3.则
.
在组中,若将2j换成2011-2j,则;
在组中,若将2012-2j换成2j-1,则
;
且
故
1 由式①知为定值,且
为定值.
2 由式②知,当且仅当取最小值时,取最小值.
首先,求{0,1,...,502}的子集I、J,使得
且
最小,其中,.
设,其中,1≤n≤m≤502.则
由4n-1<4n+1,取m=n.则由式①解得n=354.
下面证明:对任意满足式①的其他子集,有
设
则
注意到,式③中左边的每个数都小于右边的每个数.由调整法易知
故I={1,2,...,354},J={354,355,...,502}.
从而,,当取最小值时,有
{2011-2j|j=149,150,...,502}∪
{2j-1|j=1,2,...,149}∪
{2012-2j|j=150,151,...,503},
其中,所有小于1005的数之和为.
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【题目】近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众,某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计,车辆状况的优惠活动评价的列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对车辆状况好评 | |||
对车辆状况不满意 | |||
合计 |
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?
(2)为了回馈用户,公司通过向用户随机派送每张面额为元,元,元的 三种骑行券.用户每次使用扫码用车后,都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券,获得元券的概率分别是,,且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车,记该用户当天获得的骑行券面额之和为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:
参考公式:,其中.
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【题目】在圆周上依次有个点,今随机地选取其中个点为顶点作凸边形,已知选取与否的可能性是相同的,试求对每个,边形的两个相邻顶点(规定)之间至少有中的个点的概率,其中,是给定的一组正整数.
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【题目】有A、B、C三人进行乒乓球比赛,当其中两个人比赛时,另一个人作裁判,此场比赛的输者在下一场中当裁判,另两个人接着比赛.比赛进行了若干场以后,已知A共赛了a场,B共赛了b场.求C赛的场数的最小值.
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【题目】如图所示,已知直线与曲线相切于两点,则对于函数,以下结论成立的是( )
A.有3个极大值点,2个极小值点B.有2个零点
C.有2个极大值点,没有极小值点D.没有零点
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【题目】某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?
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【题目】在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个侧面的中心点、1个体的中心点,这27个点中,共球面的8点组的个数是().
A. 4462 B. 4584 C. 4590 D. 4602
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