Question

已知α、β是△ABC的两个内角，则下列不等式恒成立的有

 

．
①sinα+sinβ＞sin（α+β）；②cosα+cosβ＞cos（α+β）；
③sinα+sinβ＞cos（α+β）；④cosα+cosβ＞sin（α+β）．
（把你认为恒成立的不等式的序号都填上）

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：将sin（α+β），cos（α+β）展开，α、β是△ABC的两个内角，对所有选项逐一分析即可．

解答： 解：①sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα，α，β∈（0，π）
所以，0＜sinβ＜1，0＜sinα＜1，-1＜cosα＜1，-1＜cosβ＜1，
sinα（cosβ-1）＜0⇒sinαcosβ＜sinα，同理sinβcosα＜sinβ，
所以sin（α+β））=sinαcosβ+sinβcosα＜sinα+sinβ，故①成立．
②用放缩法cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ所以②成立．
③对于α，β可以令他们都等于15°，则知道③不成立
④当α=

2π

3

，β=

π

6

时，cosα+cosβ=

3

2

-

1

2

，sin（α+β）=

1

2

．故④错误．
故答案为：①②

点评：本题主要考察两角和与差的余弦函数，考查分析推论能力，属于中档题．