Question

已知{a_n}是递减的等差数列，a₂，a₃是方程x²-5x+6=0的根．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

2n

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）方程x²-5x+6=0的两根为2，3．由题意得a₂=3，a₃=2．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）方程x²-5x+6=0的两根为2，3．
由题意得a₂=3，a₃=2．
设数列{a_n}的公差为d，则a₃-a₂=d，
故d=-1，从而得a₁=4．
∴{a_n}的通项公式为a_n=-n+5．
（2）设

an

2n

的前n项和为S_n，由（1）知

an

2n

=

-n+5

2n

，
则Sn=

4

2

+

3

22

+

2

23

+

1

24

+…+

-n+5

2n

，

1

2

Sn=

4

22

+

3

23

+

2

24

+

1

25

+…+

-n+6

2n

+

-n+5

2n+1

，
两式相减得

1

2

Sn=2-(

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

)-

-n+5

2n+1

即

1

2

Sn=2-(

1 4 - 1 2n+1

1- 1 2

)-

-n+5

2n+1

，

1

2

Sn=2-(

1 4 - 1 2n+1

1- 1 2

)-

-n+5

2n+1

，
∴Sn=3+(

n-3

2n

)．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．