Question

15．若直线l：ax+by+4=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+8x+2y+1=0，则ab的最大值为1．

Answer 1

分析 由题意可得直线经过圆的圆心（-4，-1），4a+b=4，再利用基本不等式求得ab的最大值．

解答 解：∵直线ax+by+4=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+8x+2y+1=0，
∴直线经过圆的圆心（-4，-1），
则有-4a-b+4=0，即 4a+b=4，
由基本不等式可得，4a+b=4≥2$\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$，
当且仅当2a=b=$\frac{1}{2}$时，取等号，由此可得ab≤1，
∴ab的最大值是1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查了直线和圆相交的性质，基本不等式的应用，解题的关键是直线平分圆的性质的应用，属于中档题．