Question

8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是4+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 三棱锥的一个侧面与底面垂直，作出直观图，计算三棱锥的各个侧棱，求出侧面积．

解答 解：根据三视图作出棱锥P-ABC的直观图，
其中PO⊥平面ABC，O是AC的中点，AC⊥OB．AC=OB=PO=2．
∴S_△ABC=S_△PAC=$\frac{1}{2}×2×2$=2
由勾股定理得PA=PC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
PB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．∴△PAB和△PBC是全等的等腰三角形．
取PB中点D，连结AD，则AD⊥PB，BD=$\frac{1}{2}PB$=$\sqrt{2}$．
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴S_△PAB=S_△PBC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$．
∴三棱锥的表面积为2×2+2×$\sqrt{6}$=4+2$\sqrt{6}$．
故答案为：4+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的表面积计算，属于基础题．