Question

15．已知在△ABC中，$cosC+（cosA-\sqrt{3}sinA）cosB=0$．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，可得-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，可化为tanB=$\sqrt{3}$，即可得出．
（2）由a+c=1，利用基本不等式的性质化为ac≤$\frac{1}{4}$．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=1-3ac，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
化为sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，
∵cosB≠0，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π）．
解得B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a+c=1，
∴1≥2 $\sqrt{ac}$，
化为ac≤$\frac{1}{4}$．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=1-3ac≥$\frac{1}{4}$，当且仅当a=c=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴b≥$\frac{1}{2}$．
又b＜a+c=1．
∴b的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了余弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、三角函数的内角和定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．