Question

20．已知函数f（x）=sin（πx+$\frac{π}{4}$）和函数g（x）=cos（πx+$\frac{π}{4}$）在区间[-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{5\sqrt{2}}{4}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意结合正弦函数、余弦函数的图象，求得A、B、C三点的坐标，即可求得△ABC的面积．

解答 解：∵函数f（x）=sin（πx+$\frac{π}{4}$）和函数g（x）=cos（πx+$\frac{π}{4}$）在区间[-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$]上的图象交于A，B，C三点，
令sin（πx+$\frac{π}{4}$）=cos（πx+$\frac{π}{4}$），可得π•x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{4}$，或 π•x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z．
再结合x∈[-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$]，解得x=-2，-1，0，
可得A（-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、C（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴△ABC的面积是$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．