Question

3．已知函数f（x）=sin x+$\frac{1}{x}$+a，x∈[-5π，0）∪（0，5π]．记函数f（x）的最大值为M，最小值为m，若M+m=20，则实数a的值为10．

Answer 1

分析 函数f（x）=sin x+$\frac{1}{x}$+a，x∈[-5π，0）∪（0，5π]．化为：F（x）=f（x）-a=sin x+$\frac{1}{x}$，可得函数F（x）为奇函数．利用奇函数的性质即可得出．

解答 解：函数f（x）=sin x+$\frac{1}{x}$+a，x∈[-5π，0）∪（0，5π]．
化为：F（x）=f（x）-a=sin x+$\frac{1}{x}$，
∵F（-x）+F（x）=sin （-x）-$\frac{1}{x}$+sin x+$\frac{1}{x}$=0，
∴函数F（x）为奇函数．
∴M-a+m-a=0，化为2a=M+m=20，
解得a=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了函数的奇偶性单调性、方程的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．