Question

13．某地方政府欲将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2$\sqrt{3}$百米，AB=3百米，广场入口P在AB上，且AP=2BP，根据规划，过点P铺设两条互相垂直的笔直小路PM、PN（小路宽度不计），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点），△PAM区域拟建为跳舞健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪，设∠APM=θ．
（1）求绿化草坪面积的最大值；
（2）现拟将两条小路PN、PN进行不同风格的美化，小路PM的美化费用为每百米1万元，小路PN的美化费用为每百米2万元，试确定点M，N的位置，使得小路PM，PN的总美化费用最低，并求出最低费用．

Answer 1

分析 （1）用θ表示出AM，BN，得出草坪面积S关于tanθ的函数，利用函数单调性求出最大值；
（2）用θ表示出PM，PN，得出美化费用y关于θ的函数，利用换元法求出最小值．

解答 解：（1）∵AB=3，AP=2BP，∴AP=2，BP=1．
在Rt△PMA中，由$\frac{AM}{AP}=tanθ$，得AM=2tanθ，
∴${S_{△PMA}}=\frac{1}{2}•2•2tanθ=2tanθ$，
∵PM⊥PN，∴∠PNB=θ，
在Rt△PNB中，由$\frac{BP}{BN}=tanθ$，得$BN=\frac{1}{tanθ}$，
所以${S_{△PMA}}=\frac{1}{2}•1•\frac{1}{tanθ}=\frac{1}{2tanθ}$，
又S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$）×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
∴绿化草坪面积S=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-2tanθ-$\frac{1}{2tanθ}$，
连结PC，PD，则tanθ的最大值为$\frac{AD}{AP}$=$\sqrt{3}$，tanθ的最小值为$\frac{BP}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤tanθ$≤\sqrt{3}$，
设tanθ=t，f（t）=2t+$\frac{1}{2t}$，则f′（t）=2-$\frac{1}{2{t}^{2}}$，
∴当t∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$]时，f′（t）＞0，
∴f（t）在[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$]上单调递增，
∴f（t）的最小值为f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，
∴S的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{7\sqrt{3}}{6}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
∴绿化草坪面积的最大值为$\frac{10\sqrt{3}}{3}$平方百米．
（2）在Rt△PMA中，由$\frac{AP}{PM}=cosθ$，得$PM=\frac{2}{cosθ}$，
在Rt△PNB中，由$\frac{BP}{PN}=sinθ$，得$PN=\frac{1}{sinθ}$，
∴总美化费用为$y=\frac{2}{cosθ}+\frac{2}{sinθ}=\frac{2（sinθ+cosθ）}{sinθcosθ}$，由（1）可知θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），则t∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]，$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，
∴$y=\frac{4t}{{{t^2}-1}}$，${y^'}=-\frac{{4{t^2}+4}}{{{{（{t^2}-1）}^2}}}＜0$，
∴$y=\frac{4t}{{{t^2}-1}}$在[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]上单调递减，
∴当t=$\sqrt{2}$时，美化费用y取得最小值4$\sqrt{2}$．
∴当$t=\sqrt{2}$，即$θ=\frac{π}{4}$时，即AM=2，BM=1时总美化费用最低为4$\sqrt{2}$万元．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．