Question

5．若正实数a，b满足$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+2}$=$\frac{1}{3}$，则ab+a+b的最小值为6$\sqrt{6}$+14．

Answer 1

分析 用a表示出b，利用基本不等式得出最值．

解答 解：∵$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+2}$=$\frac{1}{3}$，∴3（a+1）+3（b+2）=（a+1）（b+2），
∴ab=a+2b+7，
a=$\frac{2b+7}{b-1}$，∵a，b都是正数，∴b＞1．
∴ab+a+b=a+2b+7+a+b=2a+3b+7=$\frac{4b+14}{b-1}$+3b+7
=$\frac{3{b}^{2}+8b+7}{b-1}$=3（b-1）+$\frac{18}{b-1}$+14≥2$\sqrt{54}$+14=6$\sqrt{6}$+14．
当且仅当3（b-1）=$\frac{18}{b-1}$即b=$\sqrt{6}$+1时取等号，此时a=2+$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：6$\sqrt{6}$+14．

点评 本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．