Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-2，且当x＞1时恒有f（x）＜2，则下列结论正确的是（　　）

• A、f（x）在（0，+∞）上是减函数
• B、f（x）在（0，+∞）上是增函数
• C、f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
• D、f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：运用函数的单调性的定义，设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，由条件2得，f（

x1

x2

）＜2，再由条件1即可得到f（x₁）-f（x₂）的差小于0，则可判断结论．

解答： 解：设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，
∵当x＞1时恒有f（x）＜2，∴f（

x1

x2

）＜2，
∵任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-2，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）-2＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
故选：A．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的定义，注意条件的运用和理解，属于中档题．