Question

已知向量

a

=（cosx+sinx，2cosx），

b

=（cosx-sinx，sinx），函数f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由向量的数量积运算及三角变换可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，即可得出结论；
（Ⅱ）由题意求得2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，根据正弦函数的单调性即可得出最值．

解答： 解：（I）∵f(x)=

a

•

b

=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2cosxsinx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（II）令t=2x+

π

4

，∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
即t∈[

π

3

，

3π

4

]，∴sint在t∈[

π

4

，

π

2

]上是增函数，在t∈[

π

2

，

3π

4

]上是减函数，
∴当t=

π

2

，即2x+

π

4

=

π

2

，x=

π

8

时，f(x)max=f(

π

8

)=

2

．
当t=

π

4

或

3π

4

，即x=0或

π

4

时，f(x)min=f(0)=f(

π

4

)=1．

点评：本题主要考查向量的数量积运算及三角函数在定区间上求最值等知识，属于中档题．