【题目】抛物线:过点.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为轴上一点,为抛物线上任意一点,求的最小值;
(3)过抛物线的焦点,作相互垂直的两条弦和,求的最小值.
【答案】(1)(2)当时,的最小值为;当时,的最小值为(3)32
【解析】
(1)将点代入抛物线方程,解出,即可求出;
(2)设出点,根据距离公式表示出,再根据二次函数知识即可求出;
(3)由题可知两直线斜率都存在,所以设:,:,将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求出,,根据弦长公式即可求出和的长,然后根据基本不等式即可求出.
(1)将点代入抛物线方程,得,解得,
所以抛物线的方程为:.
(2)设点,则,.
所以.
设,对称轴为,
当即时,在上单调递增,所以,即的最小值为;
当时,在上单调递减,在上单调递增,所以,的最小值为.
综上,当时,的最小值为;当时,的最小值为.
(3)由题可知两直线斜率都存在,设,,
:,:,
由,化简得,,所以,
同理可得,,即,,
故.
即的最小值为32.
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【题目】定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆.
(1)若椭圆,判断与是否相似?如果相似,求出与的相似比;如果不相似,请说明理由;
(2)写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程;若在椭圆上存在两点、关于直线对称,求实数的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的参数方程;
(2)若曲线与曲线,在第一象限分别交于两点,且,求的取值范围.
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【题目】某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况,统计了某个送外卖小哥某天从9:00到21:00这个时间段送的50单外卖.以2小时为一时间段将时间分成六段,各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表,各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图.
时间区间 | ||||||
每单收入(元) | 6 | 5.5 | 6 | 6.4 | 5.5 | 6.5 |
(Ⅰ)求频率分布直方图中的值,并求这个外卖小哥送这50单获得的收入;
(Ⅱ)在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单,且男性订的外卖中有20单带饮品,女性订的外卖中有10单带饮品,请完成下面的列联表,并回答是否有的把握认为“带饮品和男女性别有关”?
带饮品 | 不带饮品 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,平面平面ABC,,.
(1)若,求证:平面平面PBC;
(2)若PA与平面ABC所成的角为,求二面角C-PB-A的余弦值.
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【题目】已知半圆:,、分别为半圆与轴的左、右交点,直线过点且与轴垂直,点在直线上,纵坐标为,若在半圆上存在点使,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出5人,进行体育锻炼体会交流,再从这5人中选出2人作重点发言,求作重点发言的2人中,至少1人是女生的概率.
参考公式:,其中.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】记无穷数列的前项中最大值为,最小值为,令.
(1)若,写出,,,的值;
(2)设,若,求的值及时数列的前项和;
(3)求证:“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”.
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【题目】七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道:近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂,故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
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