Question

6．以下四个命题中，真命题的个数是（　　）
①“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题
②?α₀，β₀∈R，使得sin（α₀+β₀）=sinα₀+sinβ₀
③若a∈R，则“$\frac{1}{a}$＜1”是“a＞1”的必要不充分条件²⁴
④命题“?x₀∈R，x₀²+2x₀+3＜0”的否定是“?x∈R，x²+2x+3＞0”

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 对于①，写出“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题，举例说明可判断①的正误；
对于②，令α₀=β₀=0，可判断②的正误；
对于③，由$\frac{1}{a}$＜1⇒a＞1或a＜0，利用充分条件与必要条件之间的关系即可判断③的正误；
对于④，写出命题“?x₀∈R，x₀²+2x₀+3＜0”的否定，即可判断④的正误．

解答 解：对于①，“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2”错误，如a=1.1＞1，0.5＜1，1.1+0.5=1.6≥2不成立，故①错误；
对于②，?α₀，β₀∈R，使得sin（α₀+β₀）=sinα₀+sinβ₀，正确，如α₀=β₀=0时，sin（α₀+β₀）=sinα₀+sinβ₀成立，故②正确；
对于③，$\frac{1}{a}$＜1⇒a＞1或a＜0，因此“$\frac{1}{a}$＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故③正确；
对于④，命题“?x₀∈R，x₀²+2x₀+3＜0”的否定是“?x∈R，x²+2x+3≥0”，故④错误．
综上所述，以上四个命题中，真命题的个数是2个，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查全称命题与特称命题的真假判断、充分必要条件的判定及四种命题之间的关系，属于中档题．