Question

10．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{1}{{1-{a_n}}}（n∈{N^*}）$，a₈=2，则a₁=$\frac{1}{2}$；若数列{a_n}的前n项和是S_n，则S₂₀₁₇=$\frac{2017}{2}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{1}{{1-{a_n}}}（n∈{N^*}）$，可得${a}_{n+2}=\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{1-{a}_{n}}}$=$\frac{1-{a}_{n}}{-{a}_{n}}$．a_n+3=$\frac{1}{1-{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1-{a}_{n}}{-{a}_{n}}}$=a_n．a₈=2，可得$2=\frac{1}{1-{a}_{7}}$，解得a₇=$\frac{1}{2}$，同理可得：a₆，a₅，a₁=a₇，a₂=a₈，a₃=a₆．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{1}{{1-{a_n}}}（n∈{N^*}）$，
∴${a}_{n+2}=\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{1-{a}_{n}}}$=$\frac{1-{a}_{n}}{-{a}_{n}}$．
∴a_n+3=$\frac{1}{1-{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1-{a}_{n}}{-{a}_{n}}}$=a_n．
∴数列{a_n}是周期为3的数列．
∵a₈=2，∴$2=\frac{1}{1-{a}_{7}}$，解得a₇=$\frac{1}{2}$，同理可得：a₆=-1，a₅=2，
a₁=a₇=$\frac{1}{2}$，a₂=a₈=2，a₃=a₆=-1．
S₂₀₁₇=a₁+（a₂+a₃+a₄）×672
=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}×672$
=$\frac{2017}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{2017}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．