Question

20．已知函数f（x）=e^x+x-1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）在第一问的基础上，求切线方程与坐标轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（Ⅱ）设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，分别令y=0和y=0，可得A，B，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（I）f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，
f′（x）=e^x+1，f′（1）=e+1，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=（e+1）（x-1），
即y=（e+1）x-1；
（Ⅱ）设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A（$\frac{1}{e+1}$，0），B（0，-1），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{e+1}$×1=$\frac{1}{2（e+1）}$，
∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2（e+1）}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查三角形的面积公式的运用，属于基础题．