Question

12．现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍．要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设圆柱形铁桶的底面半径为r，则其高h=$\frac{V}{π{r}^{2}}$，记单位面积铁的价格为a，故其总造价y=a（2πr•$\frac{V}{π{r}^{2}}$+πr²）+3aπr²=a（$\frac{2V}{π}$+4πr²），求导确定函数的单调性，从而求最小值及最小值点，进一步求其高，则答案可求．

解答 解：设圆柱形铁桶的底面半径为r，则其高为h=$\frac{V}{π{r}^{2}}$．
记单位面积铁的价格为a，
故其总造价y=a（2πr•$\frac{V}{π{r}^{2}}$+πr²）+3aπr²
=a（$\frac{2V}{r}$+4πr²），
y′=a（-$\frac{2V}{{r}^{2}}$+8πr）=a$\frac{8π{r}^{3}-2V}{{r}^{2}}$．
故当r∈（0，$\root{3}{\frac{V}{4π}}$）时，y′＜0，
当r∈（$\root{3}{\frac{V}{4π}}$，+∞）时，y′＞0；
故y=a（$\frac{2V}{r}$+4πr²）在（0，$\root{3}{\frac{V}{4π}}$）上是减函数，
在（$\root{3}{\frac{V}{4π}}$，+∞）上是增函数．
∴当r=$\root{3}{\frac{V}{4π}}$，即其高为h=$\frac{V}{π（\root{3}{\frac{V}{4π}}）^{2}}$=$2•\root{3}{\frac{2V}{π}}$时，容器的造价最低，
此时$\frac{r}{h}=\frac{\root{3}{\frac{V}{4π}}}{2•\root{3}{\frac{2V}{π}}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了导数在实际问题中的应用，同时考查了几何体的表面积的求法，属于中档题．