Question

7．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为$\frac{1}{2}$．已知A是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为$\frac{1}{2}$．
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直线AP的方程．

Answer 1

分析 （I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；
（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．

解答 （Ⅰ）解：设F的坐标为（-c，0）．
依题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a=\frac{p}{2}}\\{a-c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，c=$\frac{1}{2}$，p=2，于是b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$．
所以，椭圆的方程为x²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1，抛物线的方程为y²=4x．
（Ⅱ）解：直线l的方程为x=-1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，解得点P（-1，-$\frac{2}{m}$），故Q（-1，$\frac{2}{m}$）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，整理得（3m²+4）y²+6my=0，解得y=0，或y=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$．
∴B（$\frac{-3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+4}$，$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$）．
∴直线BQ的方程为（$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$-$\frac{2}{m}$）（x+1）-（$\frac{-3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+4}+1$）（y-$\frac{2}{m}$）=0，
令y=0，解得x=$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，故D（$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，0）．
∴|AD|=1-$\frac{2-3{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$=$\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$．
又∵△APD的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∴$\frac{1}{2}×$$\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$×$\frac{2}{|m|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
整理得3m²-2$\sqrt{6}$|m|+2=0，解得|m|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线AP的方程为3x+$\sqrt{6}$y-3=0，或3x-$\sqrt{6}$y-3=0．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．