Question

15．设函数f（x）=x³+3x²+6x+14且f（a）=1，f（b）=19．则a+b=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． 0
• D． -2

Answer 1

分析 根据f（x）=x³+3x²+6x+14可将f（x）变形为f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10然后根据f（a）+f（b）=20可得（a+1）²+3（a+1）+（b+1）²+3（b+1）=0注意到此方程的对称性可构造函数F（x）=x³+3x则上式可变形为F（a+1）=-F（b+1）故需判断出函数F（x）的奇偶性和单调性即可求解．

解答 解：∵f（x）=x³+3x²+6x+14
∴f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10
∵f（a）=1，f（b）=19，
∴f（a）+f（b）=20
∴（a+1）²+3（a+1）+（b+1）²+3（b+1）=0①
令F（x）=x³+3x，
则F（-x）=-F（x）
∴F（x）为奇函数
∴①式可变为F（a+1）=-F（b+1）
即F（a+1）=F（-b-1）
∵F（x）=x³+3x为单调递增函数
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2，
故选：D

点评 本题主要考查利用函数的单调性和奇偶性进行求值．解题的关键是先将函数f（x）=x³+3x²+6x+14变形为f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10，然后利用函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．