Question

11．已知f（x）对任意的x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），当x∈（-2，0]时，f（x）=x+1，则当2＜x≤4时，$\frac{f（x）}{x}$的最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据已知分析出函数的周期性，结合当x∈（-2，0]时，f（x）=x+1，画出当2＜x≤4时，函数的图象，再由$\frac{f（x）}{x}$的几何意义得到答案．

解答 解：∵f（x）对任意的x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，
又∵当x∈（-2，0]时，f（x）=x+1，
∴函数f（x）的图象如下图所示：

$\frac{f（x）}{x}$表示函数f（x）图象上的点与原点连线的斜率，
故当2＜x≤4时，$\frac{f（x）}{x}$的最大值为$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，斜率公式，正确理解$\frac{f（x）}{x}$的几何意义是解答的关键．