Question

【题目】选修4－1：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC.

（1）求证：P=EDF；

（2）求证：CE·EB=EF·EP．

Answer 1

【答案】证明见解析．

【解析】（1）要证明两角P，EDF相等，注意到， ，因此只要证C，EDF相等，这两个角正好是可证相似的两个三角形的对应角，这个相似由已知DE2=EF·EC.可证；（2）要证明线段乘积相等，在已知圆中由相交弦定理有CE·EB=ED·EA，再看ED·EA与EF·EP的相等可由相似三角形得到．

试题分析：

试题解析：证明（1）∵DE2=EF·EC，

∴DE : CE=EF: ED．

∵DEF是公共角，

∴ΔDEF∽ΔCED． ∴EDF=C．

∵CD∥AP， ∴C= P．

∴P=EDF．----5分

（2）∵P=EDF， DEF=PEA，

∴ΔDEF∽ΔPEA．∴DE : PE="EF" : EA．即EF·EP=DE·EA．

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP． 10分