Question

16．抛物线Γ：y²=16x的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线Γ交于M、N两点，若线段MN的垂直平分线的横截距为a（a＞0），n=|MF|+|NF|，则2a-n=8．

Answer 1

分析 确定抛物线C：y²=16x的焦点为F（4，0），准线方程为x=-4，利用n=|MF|+|NF|，由抛物线的定义可得n=x_M+4+x_N+4=2x₀+8，求出线段MN的垂直平分线方程，确定线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标a，即可得出结论．

解答 解：抛物线C：y²=16x的焦点为F（4，0），准线方程为x=-4．
设MN的中点坐标为（x₀，y₀），
∵n=|AF|+|BF|，
∴由抛物线的定义可得n=x_M+4+x_N+4=2x₀+8．
线段MN的垂直平分线方程为y-y₀=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），
令y=0，x=ky₀+x₀=a，
又由点差法可得ky₀=8，
∴a=8+x₀，
∴2a-n=8．
故答案为8．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．