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已知函数f(x)=ax2+bx+c+4lnx的极值点为1和2.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)试讨论方程f(x)=3x2根的个数;
(Ⅲ)设h(x)=
1
4
f(x)-
1
4
x2
+
3
2
x,斜率为k的直线与曲线y=h(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,试比较
1
k
x1+x2
2
的大小,并给予证明.
分析:(Ⅰ)因为函数极值点是在函数的导数等于0时得到,所以,对函数f(x)求导,把x=1和x=2代入导数,等于0,就可求出a,b的值.
(Ⅱ)由f(x)=3x2得x2-6x+c+4lnx=3x2,c=2x2+6x-4lnx,设g(x)=2x2+6x-4lnx,x∈(0,+∞).要求方程f(x)=3x2根的个数,也即求g(x)与x轴交点个数,利用导数可得.
(Ⅲ)把f(x)=3x2代入h(x)=
1
4
f(x)-
1
4
x2
+
3
2
x,因为斜率为k的直线与曲线y=h(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,所以可用A,B点坐标表示k,这样,k就与
x1+x2
2
用相同参数表示,再利用对数函数的单调性,就可证明.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=2ax+b+
4
x
=
2ax2+bx+4
x
,x∈(0,+∞),
由y=f(x)的极值点为1和2,
∴2ax2+bx+4=0的根为1和2,
2a+b+4=0
8a+2b+4=0.
解得
a=1
b=-6.

(Ⅱ)由f(x)=3x2得x2-6x+c+4lnx=3x2,c=2x2+6x-4lnx,设g(x)=2x2+6x-4lnx,x∈(0,+∞).g′(x)=4x+6-
4
x
=
2(2x2+3x-2)
x
=
2(2x-1)(x+2)
x

当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表:
x (0,
1
2
)
(
1
2
,+∞)
g'(x) - +
g(x) 单调递减 单调递增
由此得,函数y=g(x)的单调减区间为(0,
1
2
)
,单调增区间为(
1
2
,+∞)

g(x)min=2×
1
4
+6×
1
2
-4ln
1
2
=
7
2
+4ln2

且当x正向趋近于0时,g(x)趋近于+∞,
当x趋近于+∞时,g(x)趋近于+∞.
∴当c=
7
2
+4ln2
时,方程只有一解;
c>
7
2
+4ln2
时,方程有两解;
c<
7
2
+4ln2
时,方程无解.
(Ⅲ)
1
k
x1+x2
2

证明:由(Ⅰ)得f(x)=x2-6x+c+4lnx,
h(x)=lnx+
c
4
,k=
lnx2-lnx1
x2-x1
,x2>x1>0.
要证
1
k
x1+x2
2
,即证
x2-x1
lnx2-lnx1
x1+x2
2

只需证
x2
x1
-1
ln
x2
x1
x2
x1
+1
2
,(因为
x2
x1
>1,ln
x2
x1
>0

即证ln
x2
x1
2(
x2
x1
-1)
x2
x1
+1
.只需证ln
x2
x1
-
2(
x2
x1
-1)
x2
x1
+1
>0
.(*)
φ(x)=lnx-
2(x-1)
x+1
(x>1),∵φ(x)=
1
x
-
4
(x+1)2
=
(x-1)2
x(x+1)2
>0

∴φ(x)在(1,+∞)单调递增,φ(x)>φ(1)=0,
∴不等式(*)成立.
1
k
x1+x2
2
点评:本题考查了应用导数求极值,以及函数的单调区间,做题时要细心,避免出错.
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a-x2
x
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1
2
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1
4
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