Question

已知函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（

1

e

，e）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，曲线y=f（x）在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，则f′（x）＞0在x＞0时恒成立，运用参数分离，求出右边函数的范围，即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）由于函数f（x）在区间（

1

e

，e）内有零点，则lnx=ax在区间（

1

e

，e）内有实根，即有a=

lnx

x

在区间（

1

e

，e）内有实根．令g（x）=

lnx

x

，求出导数，判断单调性，求出g（x）的值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax的导数为：
f′（x）=

1

x

-a，
曲线y=f（x）在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，
则f′（x）＞0在x＞0时恒成立，
即有a＜

1

x

在x＞0时恒成立，
则有a≤0；
（Ⅱ）由于函数f（x）在区间（

1

e

，e）内有零点，
则lnx=ax在区间（

1

e

，e）内有实根，
即有a=

lnx

x

在区间（

1

e

，e）内有实根．
令g（x）=

lnx

x

，g′（x）=

1-lnx

x2

，
当

1

e

＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，

1

e

），
则有a的取值范围是（-e，

1

e

）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，考查函数的单调性的运用，考查函数和方程的转换思想，考查运算能力，属于中档题．