Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（3）求三棱锥P-ACE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，由已知得OE∥PB，由此能证明PB∥平面EAC．
（2）由已知得PA⊥CD，AD⊥CD，得CD⊥平面PAD，由此能证明平面PDC⊥平面PAD．
（3）由三棱锥P-ACE的体积V=V_P-ACD-V_E-ACD，能求出结果．

解答： （1）证明：连结AC，BD，交于点O，
∵在底面ABCD是矩形，∴O是AC的中点，
连结OE，∵E是PD的中点，
∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，PB?AEC，
∴PB∥平面EAC．
（2）证明：∵在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（3）解：∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，
∴E到平面ACD的距离h=

1

2

PA=1，
S_△ACD=

1

2

×4×2=4，
∴三棱锥P-ACE的体积V=V_P-ACD-V_E-ACD=

1

3

×4×4-

1

3

×2×4=

8

3

．

点评：本题考查PB∥平面EAC的证明，考查平面PDC⊥平面PAD的证明，考查三棱锥P-ACE的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．