Question

7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD，BD=2$\sqrt{3}$，AP=4AF．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角F-BD-P的余弦值．

Answer 1

分析 （I）利用菱形与等腰三角形的性质及其线面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．利用等边三角形的性质可得：PO=$\sqrt{3}$．由$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$，可到$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$．设平面BDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CP}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CP}|}$即可得出直线CP与平面BDF所成角的正弦值．
（III）由（II）可得：平面BDF的法向量为$\overrightarrow{n}$，取平面BDP的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
∴O为AC，BD中点．
又∵PA=PC，PB=PD，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∴PO⊥底面ABCD．
（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，
又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
由△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD，
可得PO=$\sqrt{3}$．
∴A（1，0，0），C（-1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CP}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$，∴$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$=$（\frac{3}{4}，0，\frac{\sqrt{3}}{4}）$，
设平面BDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（1，0，-\sqrt{3}）$．
∴cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CP}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{4}×\sqrt{4}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直线CP与平面BDF所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$，
∴直线CP与平面BDF所成角为30^°．
（III）解：由（II）可得：平面BDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=$（1，0，-\sqrt{3}）$．
取平面BDP的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2×1}$=$\frac{1}{2}$．
∴二面角F-BD-P的余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了空间位置关系、空间角、勾股定理、菱形与等边三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．