Question

17．平面直角坐标系xOy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为$\sqrt{6}$．
（1）求圆O的方程；
（2）在直线x+3y-10=0上找一点P（m，n），使得过该点所作圆O的切线段最短，并求切线长．

Answer 1

分析 （1）画出图形，结合图形，利用勾股定理求出圆O的半径，写出圆O的标准方程；
（2）可判直线与圆相离，由直线和圆的知识可得符合条件的直线，解方程组可得所求点．

解答 解：（1）画出图形，如图所示；
过点O作OC垂直于直线AB，垂足为C，连接OB，
OC=$\frac{|1×0-1×0+1|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圆O的半径为OB=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$；
∴圆O的标准方程为x²+y²=2；
（2）∵圆心（0，0）到直线x+3y-10=0的距离d=$\frac{10}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{10}$＞$\sqrt{2}$=r，
∴直线与圆相离，由直线和圆的知识可得只有当过圆心向直线x+3y-10=0作垂线，
过其垂足作圆的切线所得切线段最短，此时垂足即为要求的点P，
由直线的垂直关系设过圆心的垂线为3x-y+c=0，代入圆心坐标可得c=0，
联立x+3y-10=0和3x-y=0可解得交点为（1，3）即为所求．
切线长$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆相切的应用问题，解题时通常应用圆心到直线的距离等于半径来解答，是中档题．