Question

2．已知向量$\overline{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．求：
（1）$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）；
（2）|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 首先通过已知求出向量$\overline{a}$，$\overrightarrow{b}$的数量积，然后分别解答1，2．

解答 解：由已知向量$\overline{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
得到${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=5{\overrightarrow{a}}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+5$${\overrightarrow{b}}^{2}$，化简得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{3}$；
所以（1）$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2-$\frac{8}{3}=-\frac{2}{3}$；
（2）|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=$9{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow{b}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=9+4-8=5．所以|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平面向量的运算；用到了向量的模的平方与向量的平方相等．